Algebra: Für Studierende der Mathematik, Physik, Informatik by Gisbert Wüstholz

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By Gisbert Wüstholz

Dieses Buch ist eine moderne Einführung in die Algebra, kompakt geschrieben und mit einem systematischen Aufbau. Der textual content kann für eine ein- bis zweisemestrige Vorlesung benutzt werden und deckt alle Themen ab, die für eine breite Algebra Ausbildung notwendig sind (Gruppentheorie, Ringtheorie, Körpertheorie) mit den klassischen Fragen (Quadratur des Kreises, Auflösung durch Radikale, Konstruktionen mit Zirkel und Lineal) bis zur Darstellungstheorie von endlichen Gruppen und einer Einführung in Algebren und Moduln. Der textual content wurde für die 2. Auflage vollständig durchgesehen und an vielen Stellen verbessert.

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Zeige, dass die p-Sylow-Untergruppe G(p) von G für m ≥ n + 1 m m isomorph zu G/Gp ist, wobei Gp das Bild von G unter der Abbildung m g → g p ist. 3 Der Satz von Jordan-Hölder Ein wichtiges Hilfsmittel zur Behandlung und zur Klassifikation von Gruppen sind sogenannte Normalreihen. Sie waren ein ganz entscheidendes Konzept für die bahnbrechenden Erfolge von Galois in der Behandlung von Körpern und für die Frage nach der Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale im 19. Jahrhundert. Heute spielen die Konzepte, die wir in diesem Kapitel bereitstellen werden, u.

Sie ist normal in Gj und ✷ definiert eine Verfeinerung von G mit den gewünschten Eigenschaften. 6 auch F ≥ G . Dies ist ein spezieller Fall der Transitivität der Ordnungsrelation. Offensichtlich folgt das Lemma sogar aus der (nicht bewiesenen) Transitivität. 2). Wir führen den Beweis durch Induktion nach s. Für s = 1 oder r = 1 ist die Behauptung des Satzes offensichtlich richtig, denn man kann jeweils die andere Reihe als gemeinsame Verfeinerung nehmen. Wir behandeln nun den Fall s = 2 und führen Induktion über r durch, wobei wir nun auch r ≥ 2 annehmen können.

Ist ϕ surjektiv, so ist ϕ∗ ein Isomorphismus. 37 ein 28 1 Gruppen Normalteiler ist. 39 eine kanonische Injektion ϕ∗ : G/H → ✷ G /H . Diese Abbildung ist offensichtlich surjektiv, wenn ϕ surjektiv ist. 43 Wir betrachten die additive Gruppe G = (Z/2Z) × (Z/2Z) × (Z/2Z) . Darin liegen die normalen Untergruppen H = {0} × (Z/2Z) × (Z/2Z) und K = (Z/2Z)×(Z/2Z)×{0}. Es gilt H +K = G, H ∩K = {0}×(Z/2Z)×{0}, und G/H kann mit der Untergruppe H ⊥ = (Z/2Z) × {0} × {0} identifiziert werden. Diese Menge bildet nämlich ein Repräsentantensystem, das (zufälligerweise) selbst eine Gruppe ist.

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