Algebra fur Einsteiger: Von der Gleichungsauflosung zur by Jörg Bewersdorff

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By Jörg Bewersdorff

Dieses Buch ist eine leicht verständliche Einführung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund rückt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bemühungen für Gleichungen fünften Grades fehl. Nach quickly dreihundertjähriger Suche führte dies schließlich zur Begründung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdrücke lösbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation für die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint. In dieser Auflage wurde ein Kapitel ergänzt, in dem ein alternativer, auf Emil Artin zurückgehender Beweis des Hauptsatzes der Galois-Theorie wiedergegeben wird. Dieses Kapitel kann quick unabhängig von den anderen Kapiteln gelesen werden.

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I·3,81014... Im mathematischen Sinn ist das erzielte Ergebnis trotzdem irgendwie beeindruckend. Wer hätte schon a priori vermutet, dass dritte Wurzeln in der Lösungsformel für eine Gleichung vierten Grades auftauchen? Richtig betrachtet ist diese Tatsache aber doch nicht so überraschend, wie sie auf den ersten Blick erscheinen mag. So haben wir bereits bei kubischen Gleichungen eine vergleichbare Situation kennen gelernt: Ganz entsprechend so, wie die Cardanische Formel außer dritten Wurzeln auch Quadratwurzeln beinhaltet, so muss eine allgemeine Auflösungsformel für biquadratische Gleichungen angelegt sein.

196 f. Gleichungen n-ten Grades und ihre Eigenschaften 31 nehmen. , xn Lösungen sind und dass es keine anderen Lösungen gibt. Man braucht also nur die Terme auszumultiplizieren und erhält dann eine Gleichung mit der gewünschten Eigenschaft. Insbesondere erklärt der Vieta’sche Wurzelsatz auch eine bereits von Cardano in seiner Ars magna niedergeschriebene Beobachtung. Dieser hatte für einige Gleichungen der Form x3 + bx = ax2 + c drei Lösungen gefunden und bemerkt, dass die Summe der Lösungen jeweils mit dem Koeffizienten a des quadratischen Terms übereinstimmen24.

Dazu wählt man zunächst zur Abkürzung die Bezeichnung 1 2 ζ =− + 3 i 2 und erkennt dann, dass die beiden der Cardanischen Formel zugrunde liegenden Gleichungen (siehe Seite 6) 3uv = − p u + v 3 = −q 3 außer dem bereits in Kapitel 1 angeführten Lösungspaar (u, v) zwei weitere Lösungspaare (ζ u, ζ 2v) und (ζ 2u, ζ v) besitzen, so dass man insgesamt die folgenden drei Lösungen für die reduzierte kubische Gleichung x3 + px + q = 0 erhält: 20 Casus irreducibilis – die Geburtsstunde der komplexen Zahlen x1 = 3 − q2 + x2 = ζ 3 − q2 + x3 = ζ 2 3 − q2 + ( ) +( ) ( ) +( ) ( ) +( ) q 2 2 p 3 3 + 3 − q2 − q 2 2 p 3 3 + ζ2 3 − q2 − q 2 2 p 3 3 + ζ 3 − q2 − ( ) +( ) ( ) +( ) ( ) +( ) q 2 2 p 3 3 q 2 2 p 3 3 q 2 2 p 3 3 Die Formel für die drei Lösungen gilt ganz allgemein, da bei ihrer Herleitung keinerlei Einschränkung gemacht wurden.

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